الفصل الثالث(فيزياء): المتجهات

[ALI ALZAHRANI]

EXAMPLES

(1)
Two vectors, |A|=5 (in first quarter) and makes an angle of 30 with positive x-axis, and |B|=4 (in second quarter) and makes an angle of 50 with positive y-axis. Find the resulatnt vector A+B and its magnitude |A+B|

SOLUTION

أولً نحلل المتجهات إلى مركباتها السينية والصادية
يصنع الزاوية مع المحور السيني بالتالي فإن المركبة السينية ستكون A المتجه

Ax=|A| cosQ=5cos30=4.33

بينما المركبة الصادية ستكون

Ay=|A| sinQ=5sin30=2.50

وبالتالي فإن المتجه سيكون كالتالي

A= Axi + Ayj = 4.33 i + 2.50 j

نلحظ انه يصنع الزاوية مع المحور الصادي وبالتالي ستكون مركبته السينية B بالنسبة للمتجه

Bx=|B| sinQ= 4sin50=3.06

ولكن المتجه يقع في الربع الثاني، حيث ان المحور السيني سالب والصادي موجب
لذا فإن المركبة السينية ستكون سالبة

Bx=-3.06

أما المركبة الصادية فهي

By=|B| cosQ= 4cos50 = 2.57

وبالتالي سيكون المتجه كالتالي

B= Bxi + Byj = -3.06i + 2.57 j

عليه فإن المحصلة هي

A+B = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j= (4.33 – 3.06)i + (2.50+2.57) j

A+B = 1.27i + 5.07j

أما المحصلة فتحسب كالتالي

A+B|=(1.27^2+5.07^2)^0.5=5.23|

(2)
.Given that A=i-3j+2k. Find the angle A makes with each coordinate

SOLUTION
من المهم لك أن تعلم ان الزاوية التي يصنعها المتجه مع أي محور تعطى بالعلقات التالية

|cosQx=Ax/|A
|cosQy=Ay/|A
|cosQz=Az/|A

وعليه فإن

Ax=1, Ay=-3, Az=2

A|=(1^2+(-3)^2+2^2)^0.5=3.74|

Qx=cos-1(1/3.74)=74.5°
Qy=cos-1(-3/3.74)=143.3°
Qz=cos-1(2/3.74)=57.7°

(3)
If A=2i-j-k and B=i-3j+k, find |A-3B| and AxB

SOLUTION

أول نوجد 3B

3B=3(i-3j+k)=3i-9j+3k

ومنها نجد ان

A-3B=(2-3)i +(-1-(-9))j + (-1-1)=-i +8j -2k

A-3B|=((1-)^2+(8)^2+(-2)^2)^0.5=8.31|

AxB=(AyBz-AzBy)i -(AxBz-AzBx)j + (AxBy-AyBx)k

AxB=((-1)*1-(-1)*(-3))i – (2*1-(-1)*1)j + (2*(-3)-(-1)*1)k=-4i-3j-5k

(4)
You have A=5i+6j-3k and B=4i+3k. If A-2B-3C=0, Find the vector C

SOLUTION

نجعل المجهول في طرف

(A-2B-3C=0 ====> 3C=A-2B

or

C=1/3(A-2B

2B=8i+6k

A-2B=(5-8)i+(6-0)j+(-3-6)k=-3i+6j-9k

C=1/3(A-2B) =1/3(-3i+6j-9k)= -i+2j-3k

(5)
You have A=3i+2j-4k and B=4i+3k. Find A.B and the angle between A and B

SOLUTION

A.B= AxBx+ AyBy+ AzBz

نضرب كل مركبة بالمركبة المماثلة لها مع ملاحظة أن المركبة الصادية للمتجه B تساوي صفر

A.B=3*4+2*0+(-4)*3=0

بما أن ناتج الضرب القياسي يساوي صفر، فهذا يعني ان المتجهين متعامدان أي أن الزاوية بينهما تساوي صفر

(6)
.Find the angle between the vectors A=6i-j+5k and B=4i-3j+3k

SOLUTION

نعلم أن الضرب القياسي لمتجهين يساوي

A.B=|A||B| cosQ

وبالتالي

(|cosQ=A.B/(|A||B

A|=(6^2+(-1)^2+5^2)^0.5=7.87|
B|=(4^2+(-3)^2+3^2)^0.5=5.83|

A.B= AxBx+ AyBy+ AzBz

A.B = 6*4+(-1)(-3)+5*3=42

منها نجد أن

cosQ=A.B/(|A||B|)=42/(7.87*5.83) = 0.92

وبالتالي فإن الزاوية بين المتجهين تساوي

Q=cos-1(0.92)=23.74°

(7)
Given that A=4i-3j-xk where x is a constant. Find the value of x if A is perpendicular to B=i+2k

SOLUTION

بما أن المتجهين متعامدان، إذا حاصل ضربهما القياسي يساوي صفر

A.B=0

A.B=4*1+(-3)*0+(-x)*2=4-2x=0

وبالتالي

x = 2


(8)
Given that A = 3i + 2j – k, find a unit vector C in the opposite direction to A


SOLUTION


من السؤال نعلم أن متجه الوحدة C من المتجه A هو


C=A/|A|


|A|=(32+22+(-1)2)0.5=3.74


C=A/|A|=1/3.74( 3i + 2j – k)=0.8i + 0.53j - 0.28k




ولكن هذا المتجه هو متجه الوحدة للمتجه A وفي نفس اتجاهه....والسؤال يريد متجه في عكس اتجاه A


والحل بسيط جداً، نضربه في -1 فيصبح




C= - 0.8i - 0.53j + 0.28k



(10)
Two vectors A= i - j + 3k and B= 2i + j – 2k. Find a vector C which is normal to both A nd B


SOLUTION


من الملاحظات التي أوردناها عن خصائص الضرب الاتجاهي مايلي:


المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي سيكون عموديا على كلي المتجهين، على سبيل المثال A×B سيكون عمودياً على كل من A و B


C=A×B= -i + 8j + 3k