للمسجّلين في ( ماث 204 ) , شرح وتوضيح لكل ما يتعلّق بالمادة

Al-Thaqafi · #1 09-08-2013, 08:16 AM

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على أشرف الأنبياء والمرسلين ,

نظراً لاقتراب موعد الحذف والإضافة , سأقدم في هذا الموضوع توضيح وشرح شامل وواضح بإذن الله لمادة مهمة وركيزة سواء في كلية العلوم لقسم الرياضيات أو في كلية الهندسة ,
وهي مادة "معادلات تفاضلية" ورمزها "Math204"

الهدف من هذا الموضوع هو أن تكوّن صورة جيدة وواضحة لهذه المادة وتعرف ما الذي ستدرسه وتتهيّأ علميّاً ونفسيّاً من المادة ,
حيث أنّي من الذين يحثّون الطلاب على مراجعة وقراءة بعض المعلومات عن المواد التي سوف يدرسونها في الترم القادم ممّا يجعلك مدركاً لما أنت مقبلاً عليه وبالتالي نتائج أفضل بإذن الله .

سنتحدث في هذا الموضوع بإذن الله عن كل ما يتعلق بالمادة من كتاب وطريق مذاكرة وما تحتاجه وغيرها .

-=-=-

فهرس الموضوع :

1- معلومات عامة
2- أهمّية المادة .
3- طبيعة المادة .
4- كيف تدرس المادة ؟
5- المواضيع التي سوف تدرسها في المادة .
6- صعوبات المادة .
7- سيلابوس المادة
8- كتاب المادة .
9- طريقة الاختبارات .
10- مقارنة بين ماث 204 وما قبلها من المستويات .
11- بعض إيجابيّات وسلبيّات المادة .
12- كيف تستعد لهذه المادة ؟

-=-=-

1- معلومات عامة :

- اسم المادة هي معادلات تفاضلية , أو باللغة الإنجليزية "Differential Equation" , ويرمز لها "Math 204"

- هذه المادة هي المستوى الرابع في مواد الرياضيات بعد ماث 110 وماث 202 وماث 203 ,

- المتطلبات لفتح هذه المادة : مادة واحدة فقط وهي ماث 202 "تفاضل وتكامل 2" .

- محاضرات المادة : ثلاث محاضرات في الأسبوع , كل محاضرة مدتها 50 دقيقة .
في الترم الصيفي : ثلاث محاضرات , كل محاضر مدتها ساعة و40 دقيقة

- المادة بأكملها عبارة عن مفاهيم جديدة ولم يسبق للطالب دراستها في المرحلة الثانوية .

-=-=-

2- أهمّية المادة :

ماث 204 من أهم مواد الرياضيات سواء في قسم الرياضيات أو كلية الهندسة , حيث أنّها تفتح الكثير من المواد والتي تعتمد على المفاهيم الموجودة في هذه المادة ,
وتطبيقاتها مفيدة وكثيرة . ولذلك ينبغي الاعتناء بها ودراستها جيّداً

-=-=-

3- طبيعة المادة :

بإمكاننا معرفة طبيعة المادة من اسمها " معادلات تفاضلية" .

المادة عبارة عن معادلات , أي أن جميع ما ستتعامل به في هذه المادة عبارة عن معادلات , لا توجد بها مواضيع المساحة والطول وغيرها المتواجدة في ماث 202 أو ماث 203 ,
وهذه المعادلات هي معادلات تفاضلية , أي أنّها تحتوي على معامل تفاضلي مثل (dy/dx) أو ('y)

مثال على نوع المعادلات التي ستتعامل معها :

كما تشاهد أنّ هذه معادلة بسيطة وعاديّة , وتحتوي على معامل تفاضلي وهو (du/dx) , فأصبحت بالتالي معادلة تفاضلية .

في هذه المادة , المطلوب والهدف أمر واحد فقط , وهو إيجاد حل للمعادلة التفاضلية .
هنالك الكثير من أنواع الحلول , كما أن هنالك الكثير من أنواع المعادلات التفاضلية , وكل نوع من المعادلات التفاضلية يناسبه نوع معيّن من الحلول ,
مهمّتك أن تعرف أنواع المعادلات التفاضلية وأن تفرّق بينها , وأن تقوم بوضع الحل المناسب للمعادلة التفاضلية .

ولكن ما المقصود بحل المعادلة التفاضلية ؟
بكل اختصار , المقصد هو إيجاد معادلة إذا قمت باشتقاقها , تعطيك الدالة المعطاة في السؤال .
أي أن الحل في هذه المادة عبارة عن معادلات , وليس أرقام عددية وغيرها

-=-=-

4- كيف تدرس هذه المادة ؟

ماث 204 ليست سهلة , ولكنّها أيضاً ليست بالصعبة كما يعتقد البعض , كل ما عليك في هذه المادة هو أن تعرف فقط نوع المعادلة التفاضلية ,
بعد ذلك تقوم بحلها عن الطريق الحل المناسب , حيث لكل نوع من المعادلات التفاضلية حل خاص بها .

وهذه الخطوات لا أراها صعبة , كل ما تحتاجه هو المذاكرة بشكل مستمر , لأن المادة مثل ما قلت أن عبارة أنواع عديدة من المعادلات التفاضلية ,
لذا فأنت بحاجة الى المذاكرة المستمرة حتى تعرف وتميّز كل نوع عن غيره . أمّا إذا كنت تذاكر قبل الاختبار بفترة بسيطة فقط , فقد تواجه صعوبة في تحديد نوع المعادلة التفاضلية .

خطوات الحل قد تكون طويلة نوعاً ما , وهذ أيضاً ليس بالأمر الصعب , فهو في النهاية عبارة عن خطوات معيّنة تنفّذها , وإذا كنت تذاكر بشكل مستمر ,
فسوف تتعوّد على طريقة الحل بسهولة , بعكس لو ذاكرت قبل الاختبار بمدة فقط , فقد تتخلط عليك بعض الخطوات وتواجه بعض الصعوبات .

إذاً المطلوب منك في هذه المادة بشكل عام , هو معرفة نوع المعادلة وخطوات الحل ,
وبالمذاكرة المستمرة (ولو بفترة بسيطة وقليلة يومياً أو كل يومين ونحوه) تجعلك تميّز بين أنواع المعادلات وخطوات الحل .

فيديو توضيحي :

لتوضيح فكرة المعادلات التفاضلية , وتصنيفها حسب الدرجة , شاهد هذا الفيديو البسيط والمفيد ,
الفيديو مفهوم ويساعدك كثيراً في فهم المعنى العام للمعادلة التفاضلية ودرجتها . مدته 6 دقائق .

-=-=-

5- المواضيع التي سوف تدرسها في المادة :

كما شاهدت في الفيديو السابق , أن هنالك معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى ومعادلات من الدرجة الثانية ,
هذه المعادلات التي سوف تتعامل فقط , وكل تصنيف من هذين التصنيف له أنواع من الحلول مختصة فيه .

عدد الأبواب التي سوف تدرسها هي 5 أبواب :

الباب الأول "Introduction to Differential Equation": عبارة عن مقدمة وتعريف للمعادلات التفاضلية .

الباب الثاني "First Order Differential Equation": يتحدث فقط عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى , وستدرس أنواعها وطرق حلها .

الباب الثالث "Modeling with First Order Differential Equation" :عبارة عن تطبيقات بسيطة لبعض المفاهيم الموجودة في الباب الثاني .

الباب الرابع "Higher Order Differential Equation" يتحدث عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية وما فوق (أي الدرجة الثالثة والرابعة والخامسة الخ) ,
ولكن جميع الحالات عبارة عن درجة ثانية فقط إلا نادراً .

الباب الخامس والسادس : غير مطلوبة ولا تدرس .

الباب السابع "Laplace Transformers" : يتحدث عن موضوع جديد تماماً وهو تحويلات لابلاس , مفاهيم بسيطة بإذن الله وليست بالصعبة ,
الهدف من تحويلات لابلاس هو حل المعادلات التفاضلية , أي أنّه بانتهائك من المادة يتكوّن لديك عدة طرق لحل المعادلة التفاضلية , سواء بما درسته من الأبواب السابقة , أو من هذا الباب .
في بداية هذا الباب , سوف تتعرف على مفهوم تحويلات لابلاس وبعض وقوانينها , وبعدها تتعرف على طريقة حل المعادلات التفاضلية عن طريق تحويلات لابلاس ,
وفي آخر الباب , ستدرس بعض العمليات المتعلقة بتحولات لابلاس .

-=-=-

6- صعوبات المادة :

المادة كما قلت سابقاً بأنها ليست سهلة وليست بالصعبة , هي تحتاج إلى مجهود ومذاكرة مستمرة كما ذكرت سابقاً .

لعل أبرز الصعوبات هي حل أنواع التكامل المختلفة في ماث 202 , حيث أنّك ستواجه الكثير من التكاملات في مادة ماث 204 ,
ولهذا أنت بحاجة إلى العودة لمادة ماث 202 ومراجعة طرق حل التكامل . بعض المسائل قد تكون عارف لطريقة الحل ,
ولكنك لا تستطيع الإكمال أو تكمل بحل خاطئ بسبب عدم حل التكامل بالشكل الصحيح .

-=-=-

7- سيلابوس المادة :

الصور التالية تحتوي على سيلابوس المادة , والذي يوضّح مواضيع المادة والأمثلة والتمارين المطلوبة بالإضافة إلى تمارين الواجب ,
السيلابوس للترم الصيفي الأخير , ولكن المواضيع هي نفسها التي تدرس في الأترام العاديّة .

1
2
3
4

-=-=-

8- كتاب المادة :

اسم الكتاب هو : "A First Course in Differential Equations" , للمؤلف "Dennis G Zill" .

الكتاب مخصص فقط لهذا الكورس ويحتوي على 9 أبواب , المطلوب فقط 5 أبواب والتي ذكرتها سابقاً .

الكتاب سعره 190 ريال تقريباً , ولكن هنالك خصم عليه من مكتبة الشقري بالجامعة وسعره 125 ريال .

وهنا تحميل الكتاب بالنسخة الالكترونية مع الحلول للأسئلة الفردية , على أحد الموقعين التالين :

Gulfup

Mediafire

-=-=-

9- طريقة الاختبارات :

طريقة الإختبارات مثل بقية مواد الرياضيات , دوري أول (25) ودوري ثاني (25) ونهائي (40), 10 درجات للواجبات والكويزات , وقد تختلف النسبة قليلاً حسب الأترام .

فكرتها مثل فكرة اختبارات ماث 202 , حيث يعطيك تكامل معيّن ويطلب منك حله .
هنا يعطيك معادلة تفاضلية معيّنة , ويطلب منك أيضاً حلها بدون ذكر النوع , أي أنّه ينبغي عليك أولاً معرفة نوعها ثم حلها .

يُقال أن فهم السؤال نصف الإجابة , هنا في ماث 204 : معرفة نوع المعدلة هو نصف الإجابة .

-=-=-

10- مقارنة بين ماث 204 وما قبلها من المستويات :

ماث 204 أبرز الفروقات بينها وبين ما قبلها من المستويات (110 , 202 , 203) أنّ المادة تتمحور حول مفهوم واحد وهو حل المعادلات التفاضلية .
بينما في المستويات السابقة نرى تواجد عدة مفاهيم , فمثلاً ماث 202 , في البداية تبدأ بدراسة "Hyperbolic Function" ثم "Sigma Notation" ,
وبعد ذلك تبدأ في التكاملات , أخيراً تنتهي بمواضيع المساحة والحجوم .

من ناحية الصعوبة , فماث 204 تعتبر حسب إجماع الطلاب أصعب من ماث 110 وماث 203 , ولكنّها أسهل من ماث 202

-=-=-

11- بعض إيجابيّات وسلبيّات المادة :

الإيجابيّات : تكرر الأفكار , أغلب مواضيع ومسائل الدوري الأول والثاني يعطيك معادلة تفاضلية ويطلب منك حلها , تقوم أولاً بتحديد النوع , ثم تقوم بخطوات الحل .
أي أنّه لا توجد الكثير من الأفكار في المادة باستثناء آخر باب (تحويلات لابلاس)

السلبيّات : لعل أبرز السلبيّات (وهي لا تعتبر سلبيّة في الحقيقة) هو حاجة المادة إلى فهم سابق ومراجعة لماث 202

-=-=-

12- كيف تستعد لهذه المادة ؟

هنالك بعض المفاهيم التي تحتاج لمراجعتها قبل دراستك لماث 204 من باب الاستعداد لهذه المادة , وهذه المفاهيم هي :

1- مراجعة طرق حل التكامل 202 , خصوصا "Integration By Parts" و "Rational Function Integration By Partial Fraction" و "Strategies of Integrarion"

2- مراجعة طرق حل معادلة من الدرجة الثانية عن طريق المميز والتحليل .

3- مراجعة استخدام الكسور الجزئية "Partial Fraction"

4- مراجعة طريقة إكمال المربع لمعادلة من الدرجة الثانية لا يمكن تحليلها .

5- مراجعة بعض الخصائص الأساسيّة لدالة الأس الطبيعي (e) ودالة اللوغاريتم الطبيعي (ln)

6- مراجعة الاشتقاق الجزئي "Partial Derivative"" , تأتيك دالة تحتوي على متغيّرين x و y , المطلوب منك هو إيجاد مشتقة هذه الدالة بالنسبة لــ x فقط ,
أو إيجاد مشتقة هذه الدالة بالنسبة لــ y فقط , هذه هي الحالات الموجودة فقط والتي تحتاجها من ماث 203 ,
ويأتيك في ماث 204 أمر جديد وهو تكامل دالة معيّنة بالنسبة لــ x فقط أو y فقط , فكرتها مثل فكرة الاشتقاق تماماً .

7- مراجعة طرق إيجاد مجال الدوال , مثل إيجاد مجال الدالة الجذرية أو الكسرية وغيرها .

8- مراجعة طريقة استخدام المحدّدات (شبيهة بالموجودة في ماث 203 في حالة ضرب متجهين)

-=-=-

ختاماً :

تم بحمد الله إكمال الموضوع والذي كان يحتوي على معلومات توضيحيّة عن المادة وبعض مفاهيمها والذي كان يهدف إلى إحاطتك بالمعرفة وتجهيزك قبل بدء دراستك بهذه المادة .
في هذا الموضوع تم معرفة بعض المعلومات العامة حول المادة , طبيعة دراسة المادة , شرح للمعنى العام للمعادلة التفاضلية , بعض مواضيع وصعوبات المادة ,
أهم المفاهيم التي تحتاج للمراجعة قبل بدء دراسة المادة .

ما أصبت فمن الله , وما اخطأت فمن نفسي والشيطان .

شكراً إلى nour al3mr على الخلفية .

والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .

Al-Thaqafi - skaau.com #

Al-Thaqafi · 09-08-2013, 08:17 AM

بالنسبة لأفضل الدكاترة في المادة , وأفضل الملخصات والمدرسين الخصوصيين , وحتى لا يخرج الموضوع عن إطاره ,

بإمكانكم معرفة أفضل مدرسين المادة في هذا الموضوع :
http://www.skaau.com/vb/showthread.php?t=662723

وأما بالنسبة للمخلصات والمدرسين الخصوصين , فالأبرز هو الحريشي وبعض من مذكّراته في هذا الموضوع :
http://www.skaau.com/vb/showthread.php?t=459961

وفي حال كانت لديكم أي أسئلة أو استفسارات حول المادة , فتفضلوا بالرد في هذا الموضوع ,
وسنحاول بإذن الله أن نفيدكم سواء من قبلي أنا أو أي شخص آخر يقدم المعلومة .

بالتوفيق للجميع وشكراً جزيلاً .

عنآن السحآب" · 11-08-2013, 12:26 AM

جزاك الله خيرا أخي " الثقفي"

موضوع مهم ومفيد جدا، صراحة أفادتني كثيرا هذه المعلومات

و أثابك الله جنة الفردوس الأعلى..

Al-Thaqafi · 11-08-2013, 11:53 AM

إضافة مهمة للموضوع

قد يكون الكلام حول أنواع المعادلات التفاضلية وطرق حلها غير واضح بشكل كبير ,
لذا سأذكر هنا مثال بسيط حتّى تتضّح الصورة وفكرة المادة بشكل أكبر ,

شاهد الأسئلة التالية :

كما تشاهد أنّ هذه عبارة عن أمثلة لبعض المعادلات التفاضلية , قد تراها الآن عبارة عن معادلات متشابهة ولا تستطيع إيجاد الفرق بينهم ,
ولكن بعد دراستك لهذه المادة , سوف تستطيع أن تعرف نوع كل معادلة من المعادلات الموجودة أعلاه ,

في البداية , المعامل التفاضلي قد يأتي بصور مختلفة , مثل ('y) أو (dy/dx) , ولكن كلّها تؤدي نفس المعنى .

في الفيديو الذي شاهدته في الموضوع , عرفت بأن هناك معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى , وهناك أيضاً معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية .
المعادلة من الدرجة الأولى يكون فيها المعامل التفاضلي شكله : ('y) أو (dy/dx)
المعادلة من الدرجة الثانية يكون فيها المعامل التفاضلي شكله : (''y) أو (d2y/dx2)

الاختبار الدوري الأول سوف يشمل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى فقط . (الباب الأول والثاني والثالث)
الاختبار الدوري الثاني سوف يشمل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية فقط . ( الباب الرابع فقط )

إذاً بإمكانك من النظر , تحديد وتمييز درجة المعادلة التفاضلية , هل هي من الدرجة الأولى أو الثانية .

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى , تحتوي على 7 أنواع , سوف تدرسهم بالتفصيل وكيف تعرفها وما طريقة حلها .
المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية , تحتوي على 5 أنواع , سوف تدرسهم بالتفصيل أيضاً وطريقة حلها .

بعض المعادلات , تستطيع معرفة نوعها عن طريق النظر بها فقط , البعض الآخر عن طريق إجراء اختبار بسيط , والبعض تقوم فقط بتعديل أمر بسيط بالمعادلة لتعرف النوع , وهكذا .
لنأخذ على سبيل المثال السؤال الثالث الموجود أعلاه وهو :

طبعاً من النظر تستطيع معرفة أنّ هذه معادلة تفاضليّة من الدرجة الأولى .
ولكن المشكلة تكون ما هو نوعها ؟

أحد الأنواع الــ 7 التي سوف تدرسها عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هو نوع يسمى "separation of variables"
بمعنى : فصل المتغيّرات , أي أنّ المقصود هو أن تكون جميع معاملات (X) في طرف , وتكون جميع معاملات (y) في طرف آخر , وبالتالي أصبحت مفصولة .

هذا النوع تستطيع معرفته عن طريق النظر في المعادلة فقط , تسأل نفسك , هل بإمكانني أن أجعل جميع متغيرات (x) بما فيها (dx) في طرف خاص بها ؟ وأيضاً (y) بما فيها (dy) ؟
إذا كانت الإجابة نعم , بالتالي قد عرفت نوع المعادلة وهو "معادلة ذات متغيّرات مفصولة" , بعد ذلك تقوم بعمل طريقة الحل الخاصة بهذا النوع .
إذا كانت الإجابة لا , إذاً تتّجه إلى الأنواع الــ 7 الأخرى ومعرفة ما هو النوع الصحيح لهذه المعادلة .

طريقة حل معادلة تفاضلية من نوع متغيرات مفصولة , هو أن تقوم بتكامل كل طرف لوحده , ومن ثم ينتهي الحل .

بالعودة إلى المثال السابق , عرفنا الآن أنّها معادلة ونوعها هو "متغيّرات مفصولة"
الخطوة التالية , هي أن نقوم بعمليّة الفصل كالتالي :

كما تلاحظ هنا , قام بوضع متغيرات (x) في طرف , ومتغيّرات (y) في طرف آخر .
الخطوة التالية , هو تكامل كل طرف لوحده دون النظر إلى الآخر , كالتالي :

بعد ذلك تقوم بحل التكامل , كالتالي :

كما تلاحظ هنا أنّه قام بتكامل الطرف الأيسر لوحده فقط دون الاهتمام بالطرف الأيمن ,
وأيضاً قام بتكامل الطرف الأيمن لوحده فقط دون الاهتمام بالطرف الأيسر ,
وعلامة المساواة (=) تبقى في المنتصف كما هي , ونرى هنالك تواجد ثابت التكامل بالطرف الأيسر فقط وهذا يكفي , ولا حاجة لثابت آخر للطرف الأيسر .

وبهذا أصبح الحل مكتمل , وقد قمت بحل المعادلة التفاضلية , الخطوة رقم 4 , هي حل المعادلة التفاضلية المعطاة , وكما تلاحظ بأن الحل عبارة عن معادلة وليس عدد .
ملاحظة : توجد بعض الخطوات المتبقيّة , ولكنّها من أجل الترتيب فقط لا أكثر , أي أنّها ليست مهمّة كثيراً .

تم ذكر هذا المثال الطويل حتّى تكون الصورة واضحة للطالب حول طريقة الأسئلة ومعرفة النوع وطرق الحل ,
وحتى تستوعب أهمّية الرجوع إلى ماث 202 ومراجعة طرق حل التكامل خصوصا المذكورة في الموضوع ,
لأنّك كما شاهدت بأنّك إذا قمت بحل التكامل بشكل خاطئ , سوف يكون الجواب بأكمله خاطئاً بالرغم من معرفتك لنوع المعادلة وطرق الحل .

وهذا مثال بسيط لنوع بسيط وغالباً طرق حله تكون سهلة وقصيرة , هناك بعض الأنواع التي تكون طرق حلها أطول وأصعب قليلاً ,
لكن الفكرة واحدة , وهي محاولة معرفة نوع المعادلة التفاضليّة , ثم بعد ذلك البدء في خطوة الحل الخاصة بهذه المعادلة .

ملاحظة مهمّة : بعد دراستك لجميع الأنواع , سوف تتعرّف على استراتيجيّة تجعلك تصل إلى نوع المعادلة التفاضليّة بأسرع وقت وأقل مجهود .

وفّقكم الله .