شرح مبسط لمحاضرة الرياضيات 111

[اميرة جده*]

مررره شكرا

[دلع غربي]

سبحان الله والحمدلله والله اكبر

ولا حولا ولا قوة الا بالله

الكـــــــــــــــــــــــــــــســــــــــــــــو ر

اللي في بدايه الدرس مفهومه ماله داعي نشرحها

نجي لتكافؤ الكسور متى نقول عن هذا الكسر يكافئ هذا الكسر
اذا كان له نفس القيمه بمعنا
ان اذا كان الكسر الاول بسطه هو نصف مقامه والبسط الثاني بسطه نصف مقامه فهو كسر مكافئ للكسر الاول
مثال 8 ص 43
8\16 يكافئ 4\8 يكافئ ايضا 2\4

نلاحظ انو الـ 8 نصف 16 و 4 نصف 8 و 2 نصف 4 لذالك سميناها متكافئه

مو شرط يكون النصف ممكن يكون الثلث او الربع او اي قيمه فقط يجب ان تكون هي نفسها للكسرين
يعني لما تجي تبسطي الكسر الاول حيطلع الناتج نفس ناتج تبسيط الكسر الثاني
= 8\16 ÷ 8 = 1\2

والكسر الثاني

= 4\ 8 ÷ 4 = 1\2

مثال اخر


الكسر 3\9 يكافئ 4\12



لو بسطنا راح نلاقي انو 3 ÷ 9 = 1\3

و 4 ÷ 12 = 1\3

كمان بطريقه ابسط نقدر نقول عن الكسر انه كسر مكافئ اذا كان ناتج عن ضرب كسر في عدد ثاااابت

مثال 9 ص 44

عشان نوجد كسر مكافئ للكسر 3\5 نضربه في 2 طبعا البسط والمقام

3x2 = 6

5x2 =1 0

اذا 6 \ 10 وكذا باقي الكسور المكافئه

يعني الكسر المكافئ هو مضاعف الكسر كل مره نضرب الكسر الناتج في العدد اللي بعده والمثال واضح مره


تبسيط الكسووور


لما نقول انو بسطنا الكسر يعني كتبناها في ابسط صوره مانقدر نقسمها اكثر من الصوره اللي وصلت له
1\2 ابسط صوره ولايمكن قسمته على اكثر من الواحد يعني لايمكن قسمته على العدد 2
3\7 مكتوب في ابسط صوره ولايمكن قسمته على اكثر من العدد واحد ال 3 ماتقبل القسمه على 2 ولا ال7 لاتقبل القسمه على 3

12\30 ليس مبسط لانه فيه صور ابسط لانه يمكن ان نقسم الكسر على عدد يقبل القسمه عبى 12 و 30 معا وهو 6

6÷ 12 = 2


6÷ 30 = 5

ويصبح الكسر بهذه الصوره 2\5 هذي ابسط صوره لانه لايكن قسمتها على اكثر من العدد 1 لو قسمناها على 2 ال 5 ماتقبل القسمه على 2


وبكذا اذا فيه كسر تقدري تقسمي بسطه ومقامه بعدد يقبل القسمه على كليهما اذا هو ليس بأبسط صوره له
زي في المثال اللي قبل وجدنا عدد يقسم البسط والمقام معا

مقارنة الكسور


اذا كان للكسر نفس المقام نطالع للبسط ونقارن
اذا كان المقام مختلف نوحد المقامات ونقارن الكسور

مثال : 2\5 و 3\4

نضرب مقام الاول في الكسر الثاني ومقام الثاني في كسر الاول

2\5 × 4 =

2× 4 = 8

5×4 = 20


3\4 × 5 =

3× 5 = 15

4 × 5 = 20


وحدنا المقام اللي هو 20 والان نقارن البسط و 15 اكبر من 8
وهذي ابسط من ايجاد الكسر المكافئ


قواسم العدد


هي عملية كتابته كحاصل ضرب مجموعة الاعداد التي اذا ضربنها في بعضها تعطينها هذا العدد ... وبطريقه ثانيه الاعداد التي تقبل القسمه على هذا العدد وبدون باااااقي

العدد 6 قاسم من قواسم الـ 24 لان 24 ÷ 6 = 4 بدوووون باقي

الاعداد الاوليه ....


هي الاعداد التي تقبل القسمة على نفسها والواحد فقط

يعني اي عدد لو قسمتيه بعدد اقل من نفسيه يعطيك كسور يعني انو مافيه عدد يقسمة الا نفسه او الواحد واكيد اذا قسمنها على واحد راح يطلع الناتج واحد
مثال
19 ÷ 1 = 19


19 ÷ 19 = 1

19÷ 2 = 9.5 عدد كسري يعني الـ 19 عدد اولي

لايجاد العوامل والقواسم للعدد نستخدم طريقة التحليل وهي ان نقسم العدد في كل مره على اصغر عدد ممكن
مثال 14 ص 47
فقره واحد كان بالامكان قسمة 24 على 4 مباشره لكن هنا قسمناها على اصغر عدد ممكن وهكذا بقية الاعداد حتى النهايه

ثم نكتبها كاحصل ضرب الكتاب كاتبها كما هي لكن انت لازم تكتبيها بالاس عشان توضح لك اكثر
الـ 2 مكرره 3 مرات يعني نكتب 2 اس 3


القاسم المشترك الاكبر



هو اكبر قاااسم للعدديين ويرمز له بالرمز ( ق . م . ك )

وكيفية اجاده


اولا : نحلل الاعداد المطلوب ايجاد القاسم الاكبر لهما

ثانيا : نكتبها على هيئة حاصل ضرب ونكتب الاسس

ثالثا : نأخذ الاعداد المشتركة وذااات الاس الاصغر

رابعا : اذا كان اكثر من عددين مشتركين نضرها في بعض


شوفوا مثال 17 ص 49


بعد ماحللنا اخذنا 2 و 4 لانها مشتركه 4 لان 2 اس 2 = 4

هو اكبر الاعداد المشتركه فهو (ق.م.ك)


ملاحظه : عند تبسيط كسر نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك لهما


اول شئ نحلل العديين كل واحد لوحده وبعدين نطلع القاسم المشترك لهم ثم نقسم البسط والمقام على هذا القاسم

مثال 20 ص 50

حللنا ال 12 و ال 18 واخذنا ال 2 و 3 اللي لها الاس الاصغر وعشان نوجد القاسم المسترك الاكبر نضربهم في بعض

3× 2 = 6

نقسم البسط والمقام على 6

12 ÷ 6 = 2

18 ÷ 6 = 3

النتيجه ان 12\18 = 2\3


وعند تبسيط كسر الى ابسط صوره له نقسم البسط والمقام على القاسم المشتر الاكبر


فرقوا للتبسيط فقط القاسم المشترك فقط


للتبسيط لابسط صوره نقسم على القاسم المشترك الاكبر

في المثال السابق لو انه قسمنا البسط المقام على احد القواسم المشتركه اللي هي 2 و 3 لاعطنا كسر ولكنه ليس بأبسط صوره لو قسمنا البسط والمقام على 2

12÷ 2 = 6

18 ÷ 2 = 9

لاصبح الناتج ...

12\18 = 6\9

مثال 21 ص 52


هنا المسأله قد تبدوا غامضه وكيف اعرف اذا يطلب القسم المشترك او اي شئ ثاني
لاحظي في المسأله يطلب شئ مشترك بين شيئيين (( طول البناء لها الارتفاع نفسه )) يعني فيه شئ مشترك اللي هو الطول
وكيف اعرف انو الاكبر... لانه طلب اقل شئ او ابسط صوره (( عدد الطوابق اقل مايمكن ))
اذا عشان نطلع طول الطابق الواحد نوجد ماهية هذا الشئ المشترك بينهم وعرفنا انو المسافه اجل هو هذا القاسم المشترك بينهما
فنحلل طولي البنايتين ونطلع الناتج فضلا ارجعوا للكتاب
وعشان نعرف عدد الطوابق نقسم القاسم المشترك الاكبر على الطولين عشان نكتبها في ابسط صوره اللي هي اقل طوابق ممكن يتكون منها البناء

مضاااعف العدد


باختصار هي لما تضربي اي عدد ثابت في عدد اخر كل مره يعطيك في كل مره ناتج اكبر من الذي سبقه
مثل جدول الضرب كل مره تضرب فيها العدد يكون الناتج اكبر

مثال جدول ال 2 عدد 2 ثابت فيه وكل مره نضرب فيه عدد والنتيجه مضاعفه

1×2 = 2

2×2 = 4

3× 2 = 6

وتستمر الى مالانهايه

اذا المضاعفات كثيره جدا لاي عدد

المضاعف المشترك الاصغر ..



وهو اول رقم مشترك بين عددين في جدول الضرب (( طبعا هذا فهمي للتعريف يعني هذا مو تعريف الكتاااب ))

يعني لما تجي تضرب اي عدد في جدول الضرب وتضربي العدد الثاني اول ماتوصلي لععد مشترك بينهم هنا يكون العدد هذا المضاعف المشترك الاصغر

مثال 24 ص 54


ضربنا الثلاثه كل مره في عدد

وضربنا الخمسه كل مره في عدد

لاحظي انو اول عدد تشابه هو 15 يعني هذا هو المضاف المشترك الاصغر
يعني تكتبين سلسة مضاعفات كل عدد وبعدها تعيين المضاعف المشترك الاصغر ويرمز له ( م.م.ص )

هذي الطريقة الاطول فيه طريقه ثانيه اسهل واقصر
وهي تحليل العدد لعوامله الاوليه ونختار منها المشتركه ذاات الاس الاكبر والغير المشتركه ذات يعني كلها ونضربها في بعض

في المثال 25 ص 55

بعد تحليل العددين اخذنا الاعداد المشتركه ذات الاس الاكبر 2 اس 2 و 3 اس 2 والغير مشتركه 7

وضربناها في بعض وطلع الناتج = 252 وهو المضاعف المشترك الاصغر

واذا تبغي تتأكدي اذا شفتي جدول ضرب ال 14 وجدول ال 36 ماراح يلتقوا الا لما يكون الناتج 252

مثال 28 ص 56


كيف عرفنا انه يطلب المضاعف وليس القاسم المشترك الاكبر

لانه يطلب الالتقااء عن نقطه مشتركه (( بعد كم دقيقه يلتقي الاثنان عند نقطة البدايه ))

ولماذا مضاعف لان في كل مره تتضاعف المسافه بين احمد وحسام بسسب الدوران بسبب الفرق في السرعه

يعني تخيلي انهم جداول ضرب ال 8 و ال6 متى راح يلتقوا ال 8 وال 6 تقدري تحليها بطريقتين
والطريقه الاسهل اللي هي التحليل والحل موجود في الكتاب

نجي للمقارنات بين المضاعف المشترك الاصغر و القاسم المشترك الاكبر

المضاعف المشترك الاصغر القاسم المشترك الاكبر



يرمز له بالرمز ( م.م.ص) (ق.م.ك )

طريقه ايجاده بطريقتين جدول الضرب بالقسمة بشرط ان تكون بدون باقي
والتحليل للاعداد الاوليه والتحليل للاعداد الاوليه

الاعداد التي ياخذها المشتركه ذات الاس الاكبر المشتركه ذات الاس الاصغر فقط
والغير مشتركه

عدد الارقام التي يحويها هناك مضاعفات كثيره لك عدد عددها محدود في الاعداد التي
تقبل القسمه بدون باقي

تستخدم في ايجاد حاصل جمع او طرح كسرين مختلفي تسيط الكسور في ابسط
المقام (( توحد المقامات )) صوره




جمع وطرح الكسور


عند جمع كسرين ....


اذا كان المقام مشترك نجمع البسط فقط والمقام يبقى مثل ماهو
اذا اختلف المقام نوحد المقام ونجمع بطريقه المقص اسهل شئ
او ايجاد المضاعف المشترك الاصغر بطريقه التحليل

مثال 31 ص 57


2\5 + 3\4=

نوحد المقام بطريقه المقص نضرب مقام الاول في الكسر الثاني ونضرب مقام الثاني في الكسر الاول
2× 4 = 8
5× 4 = 20

3×5 = 15
4×5 = 20

وكذا توحدة المقامات نجمع 15 + 8 = 23

23\20


اذا استخدمنا طريقة المضاعف راح تكون مالها داعي هنا عشان الرقم صغير واولي طريقة المضاعف المشترك للاعداد الكبيره اسهل وطريقة المقص اسهل واسهل
(( مع امكانية استخدامه للارقام الصغيره ))

ملاحظة 9 ص 58

طريقة اسهل لطريقة المقص انك تضربي المقامي في بعض وترضرب مقام كل كسر في بسط الثاني


ضرب الكسور وقسمتها


ضرب الكسرين سهل وهو انك تضربين المقام في المقام والبسط في البسط

قمسمة الكسرين هو انك تخلين الكسر الاول مثل هو وتبدلين اشارة القسمة بالضرب وتعكسين الكسر الثاني يعني البسط يصير مقام والمقام يصير بسط


الاسس

التعريف انظري الكتاب ص 63


(( تذكرت حصة الرياضيات كان ينرفع ضغطي لما القى في الدفتر مكتوب كذا وانا اذاكر من ذووود الكسل هع ))

خلونا نكمل

ترى مهم التعريف ممكن يجكي صح او خطأ

نجي للدسم وركزوا رجاء <<<<< تحسب نفسها مدرسة رياضيات
خوووواص الاسس

الخاصيه الاولى (( بليز انظري الكتاب للفهم اكثر لانو ماعندي رمز الاس ))

لما يكون الاساس واحد لعددين مرفعوين لاسس مختلفه وبينهما علامه × نجمع الاسين فقط
يعني 2 اس 2
2 اس 3

الناتج 2 اس 2+3 = 2 اس 5 = 32

الخاصيه الثانيه


الاساس واااااحد والاسس مختلفه وهو كسرررر الاساس زي ماهو والاسس بينها علامه – يعني طرح

2 اس 5 على 2 اس 3 = 2 اس 5-3 = 2 اس 2 = 4

اوك يعني في الضرب نجمع الاسين وفي القسمه (( الكسر )) نطرح الاسين بشرط الاساااس يكون واحد ومايكون يساوي الصفر

بعدين نكمل

لااله الا الله وحده لا شريك له له الملك وله الحمد وهو على كل شئ قدير

[حلا*و*غلا]

تسلمين على المجهود الرائع

[معلمة طالبة]

الله يجعلها في ميزان حسناتك والله انا تعبناك معانا ان شاء الله ماننساك من الدعاء

[بنت ريمان1]

الله يسعدكـ يارب ماقصرتي ,,,,

[دلع غربي]

الخاصيه الثالثه


اساس مرفوع لاس معين والكل مرفوع لاس اخر يعني اساس واحد واسسين نضرب الاسيين في بعض

2 اس 4 الكل مرفوع للاس 3 = 2اس 4×3 = 2 اس 6 = 64

الخاصيه الرابعه


اساسين مضروين في بعض والاس واحد نرفع الاس للاساس الاول و للاساس الثاني

2×3 اس 3 = نرفع 3 لل 2 و لل 3

2 اس 3 × 3 اس 3 = 4×9 = 36


الخاصيه الخااامسه


كسر مكون من عددين مختلفين مرفوعين لاس واحد الاس يكون للعديين معا

يعني يكون البسط مرفوع للاس والمقام مرفوع لنفس الاس

3 على 4 الكل اس 2 = 3اس 2 على 4 اس 2 بشرط المقام مايكون 0

وهنا فرقوا بينه وبين الخاصيه الثانيه الخاصيه الثانيه للبسط والمقام نفس العدد ولكل منهم اس مختلف هنا نطرح الاسين اما اذا اختلف المقام والبسط والاس كان واحد الاس يتوزع على البسط والمقام


الجـــــــــــــــــــــذور


باختصار راح اشرح لكم ايش يعني الرمز حق الجذر النوني

اول شئ جذر نوني يعني ممكن تحطي بدال النون اي عدد لكن سمي كذا عشان القاعده تكون شامله


وهو انك اذا خرج جذر اي عدد من تحت الجذر لابد ان نرفعه للاس 1\ الاس اللي كان فوق الجذر
يصير الاساس هو جذر العدد يعني تحلليه وتطلعينه بعد علامة =لكن شرط ان يكون له اس = ونخرجه زي ماهو وترفعيه على اس كسري بسطه 1 (( بدال الواحد الاس اللي طلع )) لما حللتي ومقامه الاس اللي فوق الجذر وتكملي العمليه مع الامثله راح يوضح

ملاحظه
علامة الجذر اللي مافوقها شئ هذي يعني اس الجذر 2 بس مانكتبها وهي الجذر التربيعي
والجذر اللي اسه 3 هذا جذر تكعيبي
ولازم العدد اللي داخل الجذر يكون موووجب او حتى صفر عشان يكون له جواب بس مايكون سالب واذا كان سالب فالنتيجه غير معرفه

مثال 11 ص 70


فقره 1 .... جذر 2 = جذر 2 اس 2 = 2

المطلوب هو جذر الاربعه والمعروف انه 2 لكن هنا عشان القانون نلاحظ ان الجذر ليس فوقه اس يعني مقام الاس النوني راح يكون 2 (( اللي هو اس الجذر ))

نكمل نحلل الاربعه يطلع الناتج 2 اس 2 نحطها داخل الجذر وبعدها = نخرج ال 2 ونرفعها للاس اللي اصلا مقامه 2 لانه اس الجذر وبسطه راح يكون اس العدد اللي هو كمان 2
2 على 2 فيها ال 1 ماينكتب النتيجه هي 2 اس 1 والوحد ماكتبناه

فقره 4 ... جذر 64 اس 3 = 4

يعني الجذر التكعيبي لل 64 ونلاحظ انو 3 هي اس الجذر

كيف جات 4

نحلل 64

64÷2 = 32

32 ÷ 2 = 16

16 ÷2 = 8

8÷2 = 4

4÷ 2= 2

2÷ 2 = 1

اذا تحليل 64 = 2×2×2×2×2×2 = 2 اس 6


نحط ال 2 اس 6 داخل الجذر اس 3

ننزل ال 2 ونرفعها لاس مقامه الاس حق الجذر وبسطه اس العدد

يصير 2 اس 6على 3 ..... 6÷3 = 2

= 2 اس 2 = 2×2 = 4

خواص الجذور


الخاصيه الاولى ص 71


اي جذر له نفس اس العدد نطلع العدد بالقيمه المطلقه (( يعني نشطب الاس والجذر مع بعض ))

والقيمه المطلقه دايما تطلع موجبه والامثله توضح


بشرط ان الاس زوجي واكبر من اويساوي 2

يعني اذا شفتي العدد داخل الجذر مرفوع لاس زوجي والجذر مرفوع لاس زوجي تطلع العدد داخل عمديين القيمة المطلقه ثم تطلعيه مووووجب حتى لو كاااان سالب

لاحظي في المثال 12 ص 71 فقره 4

ماطلعناها على طول لانه ليس له جذر فلازم نحلله


الخاصيه الثانيه


اذا كان للجذر والعدد نفس الاس والاس هذا فردي فأن العدد يطلع زي ماهو الموجب يطلع موجب والسالب يطلع سالب

ونفس الشئ في مثال 12 ص 72 فقره 3

حللناه وشطبنا الاس مع الجذر وطلعت ال 2 زي ماهي سالبه


الخاصيه الثالثه


عددان مضروبان في بعضهما تحت جذر مرفوع لاس نخرج كل عدد في جذر مرفوع لنفس الاس والعكس صحيح يعني اذا شفنا اي جذريين مرفوعين لنفس الاس مضروبين في بعضهم الناتج انو الجذر يصير جذر واحد كبير مرفوع للاس داخله العددين مضروييبن

طبعا يجب ان تكون موجبه اذا الاس زوجي

واذا كان الاس فردي عادي الاعداد تكون سالبه




الخاصيه الرابعه


نفس الضرب يعني نوزع الاسس مره على البسط ومره على المقام

طبعا يجب ان تكون موجبه اذا الاس زوجي


والمقام لازم يكون اكبر من الصفر


الخاصيه الخامسه


هي نفس القانون نحلل العدد اذا ماكان مرفوع لاس ونخرجه من الجذر ونرفعه لاس مقامه اس الجذر وبسطه اس العدد

مثال 16 ص 73


اخر فقره ((7 ))


هي تبين انها صعبه بس لاحظوا شطبنا الاشياء المتشابه عشان كذا صار اس ال z 6 بعد ماكان 7



واختفى ال z اللي في البسط وال x نفس الشئ والل 2 شطبنها مع ال 2 حق ال16 لانه فكينا ال
16 وهي عباره عن 8× 2



وقسمنا اس كل عدد باس الجذر


8 صارت 2 لانه حللنا ال8 وطلعت 2 اس 3 و 3÷3 =1 مايكتب



ال x اس 15 ÷ 3 = 5 قسمنا اس ال x على اس الجذر وطلع x اس 5



ال y اسه 3 قسمناه على اس الجذر 3÷3 = 1


والz اسه 6 قسمنها كمان على 3 6÷3 = 2

الخاصيه السادسه


اذا فيه جذر تحت جذر وكل واحد فيهم مرفوع لاس نخلي العدد تحت اس واحد ونضرب الاسين في بعض

شوفوا المثال رقم 17 ص 74 فقره 1 وراح تفهموا


سبحان الله والحمدلله والله اكبر
ولاحول ولا قوة الا بالله


بنات دعواتكم الله يوفقني ويرزقني اللي في بالي ويبعد عني الحرام وطريقه وعنكم يارب


ومشكورة زهرة السوسن ع التثبيت

[دلع غربي]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة معلمة طالبة الله يجعلها في ميزان حسناتك والله انا تعبناك معانا ان شاء الله ماننساك من الدعاء

افا عليك لا تعب ولا شئ ومنها اني اذاكر كمان وترسخ المعلومه عندي

انتوا ساحوني اذا فيه كلجه هنا او هناك

[ســــــــــاري]

اللة ىوفقك على هذا الجهد الجبار
ورجا خاص لاتوقفي كملي باقي المنهج معانا
واللة يديك الصحة والعافية

[محبة القوم]

جزاك الله خير وربنا يوفقك وتجيبي الفل ماااااااارك وياريت يأختي اذا تقدري تنزلي لنا حلول التمارين اللي في نهاية كل فصل .... وووووربي يوفقك ويبعد عنك كل حراااااام

[معلمة طالبة]

لو سمحتوا اريد تبسيط هذه الكسور 114/81 ، 32/20