شرح مبسط لمحاضرة الرياضيات 111

[توتي الهاجري]

مرررررة ثانكس ياقلبي

[دلع غربي]

المقادير الجبريه


هي باختصار المعادلات يعني فيها حروف وارقام بينها علامات جمع وطرح وقسمة وضرب

تتذكروا المعادلات اللي فيها س و ص و س تربيع هي هذي المادير الجبريه مره تجيكي مضروبه ومره مقسومه على معادله ثانيه ومره مطروحه منها

جمع وطرح المقادير الجبريه .....
تجمعي معادلتين ببعض ونعرف في الجمع والطرح لازم نجمه المتشابه مع بعض في الحروف والاسس وبعدين نرتبها بالاس الاكبر
(( ولما اقول نجمع اللي متشابه نجمع الاعداد اللي قدام فقط مو الحروف ))

مثال 2 ص 79

( 4 X اس 3 + 5 X + 3 ) + ( 2X اس 3 + 5X اس 2 - 7 X ) =

6X اس 3 + 5X اس2 - 2X + 3


نلاحظ ان العدد الاول اسه 3 واللي يشبه من المعادله الثانيه اسه 3 فنجمع المعاملان 4+2 = 6
نمشي بالترتيب اللي بعد اس 3 يجي اس 2 المعادله الاولى مافيه تنزل اللي في المعادله الثانيه 5X اس 2


اللي اسه 1 هو 5X واللي يشبه ( -7 X) نجمعها هنا الاشاره اختلفت نضع اشاره الاكبر ونطرح – 2 X

اللحين اللي ماله حد مجهول (( او اللي حده المجهول اسه صفر )) ((((( واي عدد او اي حد اسه صفر = 1 )))))
وهنا هو ال 3

في الضرب


فيه ضرب عدد في معادله زي المثال 3 ص 80 فقره 1

وفيه ضرب كسر في معادله فقره 2

وهنا قسمنا البسط على المقام فقط لان مقام المعادله 1
وبسط الكسر 1

فيه ضرب معامل ومجهول في معادله

مثال 3 فقره 3

هنا لاحظنا انو الاشارات في الناتج تغيرت والاسس كمان تغيرت وكمان نلاحظ انو الحد واحد اللي هو ال X

وطريقة الضرب انه تضربي كل من المعامل والمجهول كل مره في حد من حدود المعادله ونتبهي للاشارات اذا تغيرت تكون سالب واذا تشابة موجب

-2X × 2X اس2 = - 4X اس 3

ضربنا 2×2 = 4 وحطينا السالب لانو اختلفت الاشاره وصار الاس 3 لان في الضرب الاسس تنجمع (( قاعده اخناها قبل (( 1+2 = 3 ))

نكمل باقي الحل

-2X × -3X = هنا الاشارات متشابه اجل موجب و 2×3 = + 6

الاس صار 2 لانو جمعنا الاسس

وبكذا باقي الحل

نركز في الاشارات


نجمع الاسس اذا ضرب ونطرحها اذا قسمة (( طبعا اذا كان موجود الحرف يعني ال X))

لانو في الفقره 2 ماطرحنا الاسس عشان مافيه اي مجهول بس كان عدد كسري


ضرب ( مجهول – او + عدد ) × (مجهول – او + عدد ) هنا نفكك الاول ونضرب المجهول في القوس الثاني

ونضرب العدد بالاشاره مع القوس الثاني

فقره 5

فكينا القوس الاول وضرنا X في الوقوس الثاني وضربنا العدد في القوس الثاني

( X – 3 ) ( X + 7 ( = X × ( X + 7 ) -3 ×(X + 7 )= Xاس 2 + 7 X -3X -21= X اس 2 +4X -21

ضربنا الاكس في الاكس وهنا نجمع الاسس = X اس 2

وال X × 7 = 7X

ضربنا سالب 3 في الاكس = -3X

ضربنا 3×7= 21

الان طلع لنا مقادير جبريه بينها اشارة جمع وطرح وغير مرتبه

Xاس 2 + 7 X -3X -21=


نرتبها ونجمع المتشابه المتشابه هي التي لها الاس 1
(( +7X و -3X )) 7+ ( -3) = اشارة الاكبر ونطرح = 4


X اس 2 +4X -21

ضرب العدد ونظيره يعني نفس المجهول ونفس العدد بس مره بالسالب ومره بالموجب راح ينحل بهذي الطريقه

احفظوها بالترتيب


مربع الاول زايد الاول في الثاني ناقص الاول في الثاني ناقص مربع الثاني يساوي مربع الثاني ناقص مربع الاول

نشطب المنتاظره ويبقا a اس2 و b اس2 وهو مايسمى مربع العدد (( راح يجينا في تحليل الماقدير الجبريه ))

( a – b ) ( a+b ) = a اس 2 + a×b –a×b- b اس 2
= a اس 2 - b اس 2

واذا شفتي( مجهول - عدد) داخل قوس مرفوع للاس 2 اعرفي عباره عن ( مجهول – العدد ) × ( مجهول + العدد ) يعني تفتحي قوسين وتوزعي الحد وبعدها تحطي اشاره في القوس الاول موجبه وفي القوس الثاني سالبه وتوزعي العدد والعكس صحيح

و ( الحد – العدد ) اس 2 يسمى مربع العدد

والفقره 9 ضرب حد وعدد بنفسه

( a+b) ) a + b) = ( a+b ) اس 2 = a اس 2 + 2a×b + b اس 2


اذا جاكي نفس الحد والعدد والاشارات كانت موجبه ومضروبين في بعض
يعني انهم يمكن يجون بصوره ثانهي اللي هي ( a+b) اس 2
واذا جات بأي الطريقتين نحلها بالطريقه الثاليه

مربع الاول زايد 2 في الاول في الثاني زايد مربع الثاااني ((( وهذا اسمه المربع الكاااامل )))

فرقوا بين الفرق بين مربعين... (a-b) اس 2 كمان يجي بالصوه هذي (a-b) × ( a+b)


وبين المربع الكامل ..... (a+b) اس 2 كمان يجي بالصوره هذي (a+b) × (a+b)

الفرق بين مربعين الاشارات مختلفه اذا جات بين قوسين بشرط المجهول والعدد هو نفسه واذا جات في قوس واحد مرفوع للاس 2 تكون الاشاره سالبه

(والناتج فيه – الاول في الثاني و + الاول في الثاني )


والمربع الكامل تكون الاشارات موجبه في القوسن والمجهول والعدد نفسه وتكون الاشاره موجبه اذا كان القوس واحد مرفوع للاس 2
( الناتج يكون فيه 2 × الاول × الثاني )

وراح يوضح بالامثله اذا جينا لفصل تحليل المقادير الجبريه


فقره 8

راح تجي بالامثله ونشرحها بالتفصيل لانها هنا مره صعبه بدون الامثله

فقره 16 و 17 و 18

يمكن تبين على انها فرق مربعين ولكن لاحظوا انو الاعداد غير متشابه والحل هنا انه نتبع طريقه الضرب العاديه الاكس نضربها مره في الاكس ومره في ال -3 وهكذا ولما نتتهي نضرب 2 في الاكس وفي ال -3

ولاحضوا كمان انه ان الاجابات في الفقره 15 والاجابه في 16 تتشابه بس مع تركيز بسيط نلاحظ ان الاشاره موجبه في الاولى وسالبه في الثانيه

لان الاشارات تشابهت في الاقواس

و 17 و 18 الاجابات متشابه ولكن الاشارات مختلفه في داخل الاقواس وايضا ترتيب الاولويه للاشاره

قسمة المقادير الجبريه


مثال 4 ص 81 فقره 1

نقسم كل عدد على المقام لحاله ونراعي الاشارات اذا متشابه ولا لا والاسس نطرحها من بعض

[دلع غربي]

تفاءل وطموح انا مايمديني ارسلك الايميل لانو مشاركتي ماتسمح
ياليت انتي ترسلي وانا اضيفك

[غير مرشحه]

الله يوفقك ويسعدك ان شاااااااءالله
الى الامااااام سررررر

[دلع غربي]

الفصل الرابع تحليل المقادير الجبريه


نحلله يعني نرجعه لعوامله الاوليه ونكتبها كحاصل ضرب (( يعني نحاول نفكه ))

باستخدام العامل المشترك



مثل القاسم المشترك يقبل القسمه على كلا المقدارين ويكون بدون باقي

مثال 1 ص 89 فقره 1


ال 8 اذا حللناها عباره عن 2 × 4X


و ال - 2 عباره عن -1×2


العامل المشترك هو ال 2 ونكتبها خارج الاقواس 2 × ( 4X -1 ) والعوامل الباقيه داخل الاقواس بنفس اشاراتها

فقره 4


نحلل 3X اس 3 هي عباره عن 3X × اس 2X

وال 9X اس 2 هي عباره عن 3X × 3X-

وال 6X عباره عن 2 × 3X

نحط العامل المتشابه (( المشترك )) قبل القوس وباقي العوامل داخل الاقواس بالترتيب للاس الاكبر
3X( X اس 2 -3X + 2)

الفرق بين مربعين



(( ذكرنا ان اي مقدارين جبريين بينهما علامة طرح ومرفوعين للاس 2 نسمي العلاقه الفرق بين مربعيين ))


والحل انو نفكك الاس ونفتح قوسين نضع المقدار الاول مره في القوس الاول ومره في الثاني في القوس الاول نضع سالب والقوس الثاني موجب ونوزع المقدار الثاني

والعكس صحيح اذا جاتنا الاقواس مضروبه في بعض بدون الاسس


ونحلها ... مربع الاول زايد الاول في الثاني ناقص الاول في الثاني – مربع الثاني

نشطب المتشابه ويبقى المقادير مريعه وبينها سالب

مع الامثله توضح

مثال 2 ص 90


فقره 1


X اس 2 – 9 = X اس 2 – 3 اس 2 = ( X – 3 ) × ( X + 3 )

هنا جاء مقدارين جبريين ال X مربعه ولكن 9 لا باختصار معروف انو ال -9 = -3× 3 ممكن تنزليها بالتربيع

وممكن توزعيها على طول

نرجع نكتبها بالتربيع

X اس 2 – 9 = X اس 2 – 3 اس 2

نفك الاسس يصير ال X تربيع = X و X

وال -3 اس2 تصير = -3 و 3

نوزعها في قوسين .. نفتح قوسين نحط الاكس الاولى في الاول والاكس الثانيه في الثاني

(X ) (X )

ونوزع المقدار الثاني على القوسين

( X – 3 ) ( X + 3 )

ولما نجي بالعكس اعطنا ( X – 3 ) ( X + 3 ) وبغانا نحلها


نسخدم الطريقه



... مربع الاول زايد الاول في الثاني ناقص الثاني في الاول – مربع الثاني

Xاس2 + X × 3 – 3 × X – 3 تربيع ونشطب االمتناظره السالب والموجب

يبقى X اس 2 – 3 اس2 = X اس2 – 9

ملاحظه : يمكن تحليل الفرق بين مربعين
ولا يمكن تحليل مجموع المربعين

الفرق بين مكعبين


هنا انتبهوا للفرق بين الفرق بين مكعبين و مجموع المكعبين في الاشارات

اذا كانت الاشاره سالبه (( الفرق )) بين مقدارين اسهما 3 فأن الاشاره بين المقدارين سالبه ومن ثم موجب وموجبه


واذا كانت الاشاره بين المقدارين موجبه (( مجموع )) فأن الاشاره بينهما موجبه ومن ثم سالبه وموجبه

انظروا القواعد في الكتاب



الفرق بين مكعبين


نفتح قوسين واحد صغير والثاني اكبر
في الصغير نضع المقدارين بدوووون اسس ونضع اشارة سالب لانه طالب الفرق

في الكبير مربع الاول زايد الاول في الثاني زايد مربع الثاني

مثال 3 ص 91

فقره 1

المقدارين احدهما اسه مكعب وهو يطلب الفرق والاخر لكي نجعله مكعب نحلله يطلع الناتج 5 اس 3

نستخدم القانون ... قوسن واحد صغير والثاني كبير ( ) ( )

( الاول ناقص الثاني ) ( مربع الاول زايد الثاني في الاول زايد الثاني )


مجموع مكعبين


نفس الطريقه بس ننتبه على الاشارات

المربع الكامل

في الجمع .... مربع الاول + 2 × الاول × الثاني + مربع الثاني




في الطرح .... مربع الاول – 2 × الاول × الثاني + مربع الاول



الفرق بين المبرع الكامل والفرق بين مربعين نحط ال 2 في المربع الكلمل ونضرب الاول في الثاني مره وحده فقط

وننتبه للاشارات في الجمع كلها موجبه وفي الطرح الاخيره فقط هي الموجبه

المقدار الثلاثي


هو الذي يحتوي على ثلاث حدود كل حد يتكون من مجهول اسه 2 ومعامله ومجهول اسه 1 ومعامله وحد ثالث يتكون من عدد

تتذكروا

أ س تربيه + ب ص + جـ

هي نفسها بس بالحروف الانجليزيه

الحاله الاولى عندما يساوي معامل X تربيع 1

يعني لانكتب المعامل


ندور على عددين اذا جمعناهما يساوي معامل ال X اللي اسها 1 اللي هو ال b

واذا ضربناها في بعض تساوي الحد الاخير اللي هو ال C

فيه ملاحظات

اذا كانت اشارة C موجبه فأشارة العددين راح تكون ومتشابه زي اشارة الحد اللي بالوسط الل هو b


واذا كانت اشارة الحد الاخير C سالبه راح تكون اشارة العددين مختلفه وراح ياخذ العدد الاكبر اشارة b والعدد الاصغر الاشارة المعاكسه

يعني اذا الاخير موجب الاشاره متشابه وراح تكون زي العدد الاوسط اذا سالب كلهم سالب واذا موجب كلهم موجب

اما اذا الاخير كان موجب راح تكون الاشاره مختلفه الاكبر راح ياخد اشارة الوسط والاصغر راح ياخذ الاشارة المعاكسه

والامثله راح توضح

مثال 1 ص 92

نلاحظ اشياء مهمه

معامل X تربيع = 1

اشارة الاخير موجبه يعني الاشارات راح تكون متشابه وتتبع اشارة الاوسط اذا كلها راح تكون موجبه

الان ندور على عددين حاصل الضرب تساوي الاخير اللي هو ال 6 السته عباره عن 2×3

ولازم هذولا العددين حاصل جمعهما يساوي اللي في الوسط اللي هو ال 5 وال5 عباره عن 2+3
الحل نفتح قوسين ونوزع ال X اللي في الاخير موجب واللي في الوسط موجب اذا الاشارات كلها موجبه
ونوزع العددين على الاقواس

وللتأكد

وبطريقه المقص نضرب في بعض يطلع 3X و 2X

اذا جمعناها يطلع 5X وهو الحد الوسط

واذا ضربناها يطلع 6 والاكس بنحذف لان في الضرب نطرح الاسس 1-1 = 0 واي عدد اسه صفر = 1

مثال 3 ص 98

نلاحظ الاشاره للحد الاخير موجبه (( يعني الاشارات راح تكون متشابه وتتبع اشارة الحد الاوسط ))

اشارة الاوسط سالبه اذا الاشارات جميعها سالبه

مثال 4 ص 99

الاشاره الاخيره سالبه (( يعني ان الاشارات راح تختلف واكبر عدد راح ياخذ اشارة الحد الاوسط والعدد الصغير راح ياخذ الاشارة العكس ))

العددان يجب ان يكون حاصل جمعهما يساوي ال 1

وحاصل ضربهما = 20
ال 20 عباره عن 4×5

عندنا -20 يعني لابد من احد الاعداد ان تكون سالبه وهو الاكبر اذا 4× -5

ولابد من ان يكون حاصل جمعهما = -1

-5 +4 = -1 اشارة الاكبر ونطرح

اذا ال 5 راح تاخذ اشارة الاوسط وبتكون -5


وال 4 راح تاخذ الاشاره العكس اللي هي الموجب

نوزع ال X على القوسين نكتب اشارة الحد الوسط في القوس الاول وبعدها العدد الاكبر

وفي القوس الثاني نكتب الاشارة العكس ونكتب العدد الاصغر

وللتأكد من النتيجه نستخدم المقص

والمثال 5 نفس الطريقه

ننتبه لاشارة الحد الاخير

الحاله الثانيه

عندما يكون معامل Xتربيع اكبر من الواحد

اول خطوه الX تربيع نفكها ل X و X وواحد منهم ياخذ المعامل ونوزعها على الاقواس

( 3X ) ( X )

نحلل الحد الاخير (( نفكه )) ال 2 عباره عن 2×1

نكون مقص نحط فيه كل من العوامل فوق بعض عوامل الول فوق بعض والثاني فوق بعض

2 + 3X

1 + X

وليش حطينا بينهم + لان اشارة الاخير موجبه تتشابه الاشارات واشارة الاوسط موجبه فتتبعها الاشارات

ونضرب ال X × 2 و 3X × 1

راح = 2X و 3X

اذا جمعناهما راح = 5X اللي هو الحد الوسط

نوزع معاملات ناتج المقص على الاقواس

(X + 1) (3X + 2(

يعني بلغة ثانيه ناخذ الاعداد اللي تطلع لما نحلل العدد الاخير


شوفوا في كل امثلة الكتاب كان ياخذ 2 و 1

وكمان في مثال 11 اخد ال 5 و 1

وفي مثال 12 اخذ ال 3 و 1

فقط انتبهوا على اشارة الحد الاخير والحد الوسط

[محبة القوم]

جزاااااااااااك الله خير وتجيبي الفل ماااااااارك بس كيف نحل هذي المسألة
اكس تربيع -14 اكس - 15
يعني الحد الآخير 15 والحد الاوسط 14 مافي عددين طرحهما يعطيني 14 كيف نحلها؟؟؟؟؟

[Blair]

يآحيآتي يآدلــع والله مررررره ماقصرتي تستاهليييييي كل خير الله يبعد عنك كل سوء ومكروه وحرام

بصراحه من غير مجاملـه شرحك احسن من شرح استاذات االسنترااا ماشاءالله

انا متآبعتــك للأخر وان شاءالله اجيب درجه حلوه ع يدك ^_^ لاني ارتحت لشرحك

وفي اشياء مررره مهمه مافهمونا هيا الاستاذات وفهمتها منك الحمدلله ^__^

[Blair]

ونفس الشئ في مثال 12 ص 72 فقره 3 حللناه وشطبنا الاس مع الجذر وطلعت ال 2 زي ماهي سالبه

هذي مررره مافهمتها ممكن توضحيها اذا مافي كلافه ^^"

[انسه فيوليت]

ابشررك والله مابديت الرياضيات لسه وانا خلقه اكرره دي الماده قلت اسيبها اخر شي

[fofa15]

الله يسعدك ويحفظك ويحميك اختى الله يوفقك وكملي معانا ويريت بالمثال كله