للمسجّلين في ( ماث 204 ) , شرح وتوضيح لكل ما يتعلّق بالمادة

[Al-Thaqafi]

إضافة مهمة للموضوع

قد يكون الكلام حول أنواع المعادلات التفاضلية وطرق حلها غير واضح بشكل كبير ,
لذا سأذكر هنا مثال بسيط حتّى تتضّح الصورة وفكرة المادة بشكل أكبر ,

شاهد الأسئلة التالية :











كما تشاهد أنّ هذه عبارة عن أمثلة لبعض المعادلات التفاضلية , قد تراها الآن عبارة عن معادلات متشابهة ولا تستطيع إيجاد الفرق بينهم ,
ولكن بعد دراستك لهذه المادة , سوف تستطيع أن تعرف نوع كل معادلة من المعادلات الموجودة أعلاه ,


في البداية , المعامل التفاضلي قد يأتي بصور مختلفة , مثل ('y) أو (dy/dx) , ولكن كلّها تؤدي نفس المعنى .

في الفيديو الذي شاهدته في الموضوع , عرفت بأن هناك معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى , وهناك أيضاً معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية .
المعادلة من الدرجة الأولى يكون فيها المعامل التفاضلي شكله : ('y) أو (dy/dx)
المعادلة من الدرجة الثانية يكون فيها المعامل التفاضلي شكله : (''y) أو (d2y/dx2)

الاختبار الدوري الأول سوف يشمل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى فقط . (الباب الأول والثاني والثالث)
الاختبار الدوري الثاني سوف يشمل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية فقط . ( الباب الرابع فقط )

إذاً بإمكانك من النظر , تحديد وتمييز درجة المعادلة التفاضلية , هل هي من الدرجة الأولى أو الثانية .

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى , تحتوي على 7 أنواع , سوف تدرسهم بالتفصيل وكيف تعرفها وما طريقة حلها .
المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية , تحتوي على 5 أنواع , سوف تدرسهم بالتفصيل أيضاً وطريقة حلها .


بعض المعادلات , تستطيع معرفة نوعها عن طريق النظر بها فقط , البعض الآخر عن طريق إجراء اختبار بسيط , والبعض تقوم فقط بتعديل أمر بسيط بالمعادلة لتعرف النوع , وهكذا .
لنأخذ على سبيل المثال السؤال الثالث الموجود أعلاه وهو :



طبعاً من النظر تستطيع معرفة أنّ هذه معادلة تفاضليّة من الدرجة الأولى .
ولكن المشكلة تكون ما هو نوعها ؟

أحد الأنواع الــ 7 التي سوف تدرسها عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هو نوع يسمى "separation of variables"
بمعنى : فصل المتغيّرات , أي أنّ المقصود هو أن تكون جميع معاملات (X) في طرف , وتكون جميع معاملات (y) في طرف آخر , وبالتالي أصبحت مفصولة .

هذا النوع تستطيع معرفته عن طريق النظر في المعادلة فقط , تسأل نفسك , هل بإمكانني أن أجعل جميع متغيرات (x) بما فيها (dx) في طرف خاص بها ؟ وأيضاً (y) بما فيها (dy) ؟
إذا كانت الإجابة نعم , بالتالي قد عرفت نوع المعادلة وهو "معادلة ذات متغيّرات مفصولة" , بعد ذلك تقوم بعمل طريقة الحل الخاصة بهذا النوع .
إذا كانت الإجابة لا , إذاً تتّجه إلى الأنواع الــ 7 الأخرى ومعرفة ما هو النوع الصحيح لهذه المعادلة .

طريقة حل معادلة تفاضلية من نوع متغيرات مفصولة , هو أن تقوم بتكامل كل طرف لوحده , ومن ثم ينتهي الحل .

بالعودة إلى المثال السابق , عرفنا الآن أنّها معادلة ونوعها هو "متغيّرات مفصولة"
الخطوة التالية , هي أن نقوم بعمليّة الفصل كالتالي :




كما تلاحظ هنا , قام بوضع متغيرات (x) في طرف , ومتغيّرات (y) في طرف آخر .
الخطوة التالية , هو تكامل كل طرف لوحده دون النظر إلى الآخر , كالتالي :




بعد ذلك تقوم بحل التكامل , كالتالي :




كما تلاحظ هنا أنّه قام بتكامل الطرف الأيسر لوحده فقط دون الاهتمام بالطرف الأيمن ,
وأيضاً قام بتكامل الطرف الأيمن لوحده فقط دون الاهتمام بالطرف الأيسر ,
وعلامة المساواة (=) تبقى في المنتصف كما هي , ونرى هنالك تواجد ثابت التكامل بالطرف الأيسر فقط وهذا يكفي , ولا حاجة لثابت آخر للطرف الأيسر .

وبهذا أصبح الحل مكتمل , وقد قمت بحل المعادلة التفاضلية , الخطوة رقم 4 , هي حل المعادلة التفاضلية المعطاة , وكما تلاحظ بأن الحل عبارة عن معادلة وليس عدد .
ملاحظة : توجد بعض الخطوات المتبقيّة , ولكنّها من أجل الترتيب فقط لا أكثر , أي أنّها ليست مهمّة كثيراً .


تم ذكر هذا المثال الطويل حتّى تكون الصورة واضحة للطالب حول طريقة الأسئلة ومعرفة النوع وطرق الحل ,
وحتى تستوعب أهمّية الرجوع إلى ماث 202 ومراجعة طرق حل التكامل خصوصا المذكورة في الموضوع ,
لأنّك كما شاهدت بأنّك إذا قمت بحل التكامل بشكل خاطئ , سوف يكون الجواب بأكمله خاطئاً بالرغم من معرفتك لنوع المعادلة وطرق الحل .

وهذا مثال بسيط لنوع بسيط وغالباً طرق حله تكون سهلة وقصيرة , هناك بعض الأنواع التي تكون طرق حلها أطول وأصعب قليلاً ,
لكن الفكرة واحدة , وهي محاولة معرفة نوع المعادلة التفاضليّة , ثم بعد ذلك البدء في خطوة الحل الخاصة بهذه المعادلة .

ملاحظة مهمّة : بعد دراستك لجميع الأنواع , سوف تتعرّف على استراتيجيّة تجعلك تصل إلى نوع المعادلة التفاضليّة بأسرع وقت وأقل مجهود .

وفّقكم الله .