الفصل الثالث(فيزياء): المتجهات

[ALI ALZAHRANI]

الفصل الثالث: المتجهات Vectors

تنقسم الكميات الفيزيائية (سواءاً أساسية أو مشتقة) إلى نوعين أساسيين: كميات قياسية Scalar quantities وكميات متجهة Vector quantities

أولاً: الكميات القياسية Scalar Quantities

في هذا النوع من الكميات، كل ما يهمنا هو قيمتها (مقدارها) فقط. بمعنى آخر: هي الكميات التي لها مقدار magnitude وليس لها اتجاه direction

وبالتالي تستطيع وصفها بالمقدار فقط

ومن الأمثلة عليه: الطول length، المسافة distance، الزمن time، السرعة العددية speed، الكتلة mass

فعندما يقول لك صديقك أن طوله 160 سم، فأنت تفهم تذلك مباشرة دون الحاجة إلى معلومات إضافية!

ثانياً: الكميات المتجهة Vector Quantities

في هذا النوع من الكميات، يهمنا معرفة قيمتها (مقدارها) وكذلك اتجاهها. بمعنى آخر: هي الكميات التي لها مقدار magnitude و اتجاه direction

وبالتالي لا تستطيع وصفها بالمقدار فقط ولكن لابد من ذكر المقدار مع الاتجاه دوماً.

ومن الأمثلة عليها: الإزاحة displacement، السرعة المتجهة velocity، التسارع acceleration، القوة force

لاحظ هنا أن المسافة كمية قيايسة بينما أن الأزاحة كمية متجهة

فعندما يقول لك صديقك أنه بذل قوة مقدارها 500 نيوتن لتحريك جسم ما، فأنت تفهم أن مقدار القوة التي بذلها، ولكن ستسأله قائلاً: في أي اتجاه حركته؟! هل دفعت الجسم إلى اليمين أم اليسار أم اين؟! وبالتالي فأنت بحاجة لمعلومة الاتجاه حتى تتصور الوضع كاملاً....ومثال آخر عندما تخبر أباك أنك متجه بسرعة 100كم/ساعة باتجاه الشمال، فأنت حددت قيمة السرعة واتجاهها.

كيف نعبر عن المتجهات How to express vectors؟!

هناك عدة طرق للتعبير عن المتجهات، ولعل أشهر الطرق وأيسرها استخدام متجهات الوحدة unit vectors وهي للدلالة على المحاور الكارتيزية Cartesian coordinates

هذه المتجهات هي i للدلالة على الاتجاه السيني ، j للدلالة على الاتجاه الصادي، k للدلالة على الاتجاه العيني. وسميت بمتجهات الوحدة لأن قيمة أو مقدار كل واحد منها يساوي الواحد

ملحوظة: يرمز للمتجه بحرف يعلوه سهم أو بخط أسود عريض A وتسمى هذه الدلالة vector notation

وبالتالي نستطيع أن نعبر عن المتجه كما يلي

A=Axi + Ayj+ Azk

حيث ان Ax تمثل قيمة المتجه في المحور السيني (مركبته السينية)، Ay تمثل قيمة المتجه في المحور الصادي (مركبته الصادية)، Az تمثل قيمة المتجه في المحور العيني (مركبته العينية)

ولحساب قيمة هذا المتجه، نستخدم العلاقة

A={(Ax)^2+ (Ay)^2+ (Az)^2}^0.5

ملاحظة: عندما يكون المتجه في مستوى، فإن للمتجه مركبتين فقط. فلو قلنا ان المتجه في المستوى xy فهذا يعني ان المركبة العينية تساوي صفر

متجه الوحدة Unit vector

لمتجه A فإن متجه الوحدة U يعرف بأنه المتجه مقسوم على مقداره، أي كالتالي

U= A/|A|

وبالتالي فإن U قيمته الوحدة واتجاهه نفس اتجاه U

العمليات الحسابية للمتجهات

أولاً: جمع وطرح المتجهات Addition and Subtraction of Vectors

لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين

A=Axi + Ayj+ Azk

B=Bxi + Byj+ Bzk

فإن حاصل جمع (أو طرح) المتجهين ماهو إلا جمع (أو طرح) المركبات المتماثلة، بمعنى أن

A+B=(Ax+Bx)i+ (Ay+By)j+(Az+Bz)k

A-B=(Ax-Bx)i+ (Ay-By)j+(Az-Bz)k

الناتج من عملية الجمع أو الطرح سيكون بكل تأكيد متجه

ثانياً: ضرب المتجهات Product of Vectors

هناك نوعان من الضرب: قياسي Scalar (dot) product واتجاهي vector (cross) product

النوع الأول: الضرب القياسي Scalar Product

يتضح من الاسم أن الناتج من هذه العملية عبارة عن عدد

لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين

A=Axi + Ayj+ Azk

B=Bxi + Byj+ Bzk

فإن حاصل الضرب القياسي سيكون بضرب المركبات المتماثلة ومن ثم جمعها، كالتالي

A .B=AxBx+ AyBy+AzBz

وله تعريف آخر عندما يعرف مقدار المتجه A و B والزاوية بينهما Q حيث أن

A .B=AB cosQ

ملاحظات

1- عندما يكون المتجهان A , Bمتعامدين perpendicular (بمعنى ان الزاوية بينهما Q=90) فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفر

2- الضرب القياسي عملية ابدالية A.B=B.A

النوع الثاني: الضرب المتجهي Vector Product

يتضح من الاسم أن الناتج من هذه العملية عبارة عن متجه

لنفرض أن لدينا المتجهين التاليين

A=Axi + Ayj+ Azk

B=Bxi + Byj+ Bzk

A×B= (AyBz-AzBy)i – (AxBz-AzBx)j + (AxBy-AyBx)k

كيف تتم هذه العملية؟!

أولاً: نغطي على العمود الأول ونضرب (طريقة المقص: الطرفين ناقص الوسطين) وبعدها نروح للحد الثاني حيث نغطي على العمود الثاني ونكمل بنفس الطريقة

وله تعريف آخر عندما يعرف مقدار المتجه A و B والزاوية بينهما Q حيث أن

|A×B| =AB sinQ

ملاحظات

1- عندما يكون المتجهان A , B متوازيين parallel (بمعنى ان الزاوية بينهما Q=0) فإن حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي صفر

2- الضرب الاتجاهي ليس عملية ابدالية A×B= - B×A

3- المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي سيكون عموديا على كلي المتجهين، على سبيل المثال A×B سيكون عمودياً على كل من A و B

ولي عودة مع الأمثلة